Certains nombres entiers sont divisibles. Cela signifie qu’on peut les partager en plusieurs nombres entiers égaux. Avec 6 billes, nous pouvons faire 2 paquets de 3 billes. 6 est donc divisible par 2 mais aussi par 3.

Définition

Divisibilité :

Un nombre est divisible par un autre, si le résultat de la division est un nombre entier.

Les multiples de nombres entiers inférieurs à 10

Définition

Le multiple d'un nombre est le résultat qu'on obtient lorsqu'on multiplie ce nombre par un autre nombre entier.

Exemple

6 est multiple de 2 car si on multiplie 2 par 3, on obtient 6 : $3\times2=6$

À retenir

Si tu connais tes tables de multiplications, tu connais tous les multiples des nombres entiers jusqu’à 10.

Dans la table de multiplication de 2, voici les multiples :

Dans la table de 3, voici les multiples :

Tu peux faire la même chose avec toutes les tables de multiplication.

Astuce

Tout nombre est multiple de lui-même. Par exemple 7 est multiple de 7.

Les diviseurs de nombres entiers inférieurs à 10

Définition

Un diviseur d’un nombre est un nombre qui peut diviser ce nombre exactement, sans laisser de reste. Le résultat est un nombre entier.

Exemple

Quelques exemples de diviseurs, à l’aide des tables de multiplications :

$\textcolor{#2969b0}{3}\times\textcolor{#f37934}{4}=12$	$\textcolor{#41a85f}{2}\times8=16$	$\textcolor{#f37934}{4}\times7=28$
4 est un diviseur de 12 car si on divise 12 par 4, on obtient $\dfrac{12}\textcolor{#f37934}{4}=\textcolor{#2969b0}{3}$. 3 est un diviseur de 12 car si on divise 12 par 3, on obtient $\dfrac{12}\textcolor{#2969b0}{3}= \textcolor{#f37934}{4}$.	2 est un diviseur de 16 car : $\dfrac{16}{2}= 8$. 8 est un diviseur de 16 car : $\dfrac{16}{8}=\textcolor{#41a85f}{2}$.	4 est un diviseur de 28 car : $\dfrac{28}\textcolor{#f37934}{4}=7$. 7 est un diviseur de 28 car : $\dfrac{28}{7}=\textcolor{#f37934}{4}$. Pour aller plus loin : 14 est un diviseur de 28 car : $\dfrac{28}{14}=\textcolor{#41a85f}{2}$.

À retenir

Pour savoir si un nombre est diviseur d’un autre, il faut réfléchir à ses tables de multiplications. Si le résultat est dans les tables que tu as apprises, alors il est bien diviseur !

Exemple

4 est-il diviseur de 36 ?

• Dans la table de 4, y a-t-il une multiplication qui est égale à 36 ?
• Oui ! C’est $9\times4=36$.

6 est-il diviseur de 42 ?

• Dans la table de 6, y a-t-il une multiplication qui est égale à 42 ?
• Oui ! C’est $6\times7=42$.

9 est-il diviseur de 53 ?

• Dans la table de 9, y a-t-il une multiplication qui est égale à 53 ?
• Non ! On a $9\times6=54$. Mais aucune multiplication par un nombre entier n’est égale à 53.
• 9 n’est pas diviseur de 53.

Astuce

Tout nombre est diviseur de lui-même. Par exemple 9 est diviseur de 9.

Les multiples de 2, 5 et 10

Multiple de 2

Un nombre entier est multiple de 2, s’il est pair (son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6, 8). Tous ces nombres entiers sont multiples de 2 : 16, 88, 154, 230, 6 580, 95 632…

À retenir

Un nombre entier est multiple de  2, si le chiffre des unités de ce nombre est pair.

Rappel

Les nombres pairs sont les nombres qui finissent par 0, 2, 4, 6 ou 8.

Exemple

14 est un multiple de 2.

268 est un multiple de  2.

37 n’est pas un multiple de  2 (car c’est un nombre impair qui finit par 7).

Attention

Ici, nous parlons bien de nombres entiers. 14,6 n’est pas un multiple de  2.

À retenir

Reconnaître si un nombre est un multiple de  2 :

• il faut regarder le dernier chiffre des unités du nombre entier ;
• si le chiffre est 0, 4, 6 ou 8, alors le nombre est un multiple de  2.

Exemple

126 est-il un multiple de  2 ?

Le dernier chiffre des unités est 6.

126 est bien un multiple de  2.

Multiple de 5

À retenir

Un nombre entier est un multiple de  5, si le chiffre des unités de ce nombre est égal à 0 ou à 5.

Exemple

25 est un multiple de  5.

140 est un multiple de  5.

23 n’est pas un multiple de  5 (le chiffre des unités est 3).

À retenir

Reconnaître si un nombre est un multiple de  5 :

• il faut regarder le dernier chiffre des unités du nombre entier ;
• si le chiffre est 0 ou 5, alors le nombre est un multiple de 5.

Exemple

235 est-il un multiple de  5 ?

Le dernier chiffre des unités est 5.

235 est bien un multiple de  5.

Multiple de 10

À retenir

Un nombre entier est un multiple de  10, si le chiffre des unités de ce nombre est égal à 0.

Exemple

30 est un multiple de  10.

2 040 est un multiple de  10.

29 n’est pas un multiple de  10 (le chiffre des unités est 9).

Attention

Un nombre entier qui finit par 0 est un nombre divisible par 2, par 5 mais aussi par 10. Par exemple, c’est le cas du nombre 470.

À retenir

Reconnaître si un nombre est un multiple de  10 :

• il faut regarder le dernier chiffre des unités du nombre entier ;
• si le chiffre est 0, alors le nombre est un multiple de  10.

Exemple

3 050 est-il un multiple de 10 ?

Le dernier chiffre des unités est 0.

3 050 est bien un multiple de 10.

Ces critères sont des astuces rapides pour reconnaître les multiples sans avoir à poser de calcul.

Résolution de problèmes de divisibilité

Problème 1

Une fleuriste a 72 roses. Elle veut confectionner des bouquets contenants chacun 8 roses. Combien de bouquets peut-elle confectionner ?

• Dans 72, combien de fois a-t-on 8 ?
• $\textcolor{#b8312f}{8}\times9=\textcolor{#9365b8}{72}$.
• 8 et 9 sont des diviseurs de 72.
• La fleuriste peut donc confectionner 9 bouquets de 8 roses.

Problème 2

Un enseignant organise une sortie au cinéma avec sa classe. Chaque enfant doit payer 4 €. Lorsque l’enseignant comptabilise l’argent, il a :

• 1 billet de 20 €,
• 5 billets de 10 €,
• 3 billets de 5 €,
• 4 pièces de 2 € ;
• 3 pièces de 1€.

Combien y a-t-il d’élèves dans cette classe ?

• Étape 1 : compter l’argent récolté

$(20\times1)+(10\times5)+(5\times3)+(4\times2)+(3\times1)$ $= 20+50+15+8+3$ $=96$.

• Étape 2 : Si chaque élève paie 4 € et que l’enseignant récolte 96 €.

Dans 96, combien de fois a-t-on 4 ? $96=4\times{…?}$

• Étape 3 : 96 est-il multiple de 4 ?

$96=40+40+16$

$96=(4\times10)+(4\times10)+(4 \times4)$

Donc $96=4\times24$

• Il y a 24 élèves dans la classe de l’enseignant.