Cours Mathématiques

Cours : Comparer, encadrer, positionner des fractions sur une droite

Cours Comparer, encadrer, positionner des fractions sur une droite

Sommaire

1 . Comparer une fraction avec le nombre 1
2 . Encadrer une fraction entre deux entiers consécutifs
3 . Positionner une fraction sur une droite graduée
4 . Comparer des fractions
5 . Egalités de fractions
6 . Déterminer le numérateur manquant

Les fractions sont des nombres, on peut donc les comparer, les encadrer ou même les repérer sur une droite graduée.

Comparer une fraction avec le nombre 1

Rappel

Lorsque le numérateur et le dénominateur sont identiques, la fraction est égale à 1.

À retenir

Si le numérateur est inférieur au dénominateur, alors la fraction est inférieure à 1.

Exemple

Comparons la fraction $\dfrac{6}{10}$ :

6 < 10, donc $\frac{6}{10}$ < 1

Comparons la fraction $\dfrac{1}{7}$ :

1 < 7, donc $\frac{1}{7}$ < 1

À retenir

Si le numérateur est supérieur au dénominateur, alors la fraction est supérieure à 1.

Exemple

Comparons la fraction $\dfrac{3}{2}$ :

3 > 2, donc $\frac{3}{2}$ > 1

Comparons la fraction $\dfrac{25}{3}$ :

25 > 3, donc $\frac{25}{3}$ > 1

À retenir

Une fraction supérieure à 1 peut s’écrire comme la somme d’un entier et d’une fraction inférieur à 1.

Exemple

$\dfrac{4}{3}$ d’une unité est égal à $1\,\text{unité}+\dfrac{1}{3}$ d’une unité. En effet « quatre tiers » est égal à :

$\dfrac{4}{3}=\dfrac{3}{3}+\dfrac{1}{3}$
$\dfrac{4}{3}= 1+\dfrac{1}{3}$

On peut aussi écrire que $4\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}$.

Exemple

$\dfrac{5}{2}$ d’une unité est égal à $2\,\text{unités}+\dfrac{1}{2}$ d’une autre unité. En effet, « cinq-demi » est égal à :

$\dfrac{5}{2}=\dfrac{4}{2}+\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{5}{2}=\dfrac{2}{2}+\dfrac{2}{2}+\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{5}{2}= 1+1+\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{5}{2}= 2+\dfrac{1}{2}$

On peut aussi écrire que $\dfrac{5}{2}=5\times\dfrac{1}{2}$.

Astuce

Si le numérateur est le double du dénominateur, alors la fraction est égale à 2.

Si le numérateur est le triple du dénominateur, alors la fraction est égale à 3.

Et ainsi de suite…

Encadrer une fraction entre deux entiers consécutifs

Méthode

Exemples

1. On récite les multiples du dénominateur jusqu’à dépasser le numérateur.

$$\boxed{\frac 5 2}$$ Multiples :

0 – 2 – 4 – 6

$$\boxed{\frac 4 3}$$ Multiples :

0 – 3 – 6

2. On relève les deux nombres qui entourent le numérateur.

4 et 6

3 et 6

3. On divise ces deux nombres par le dénominateur, pour trouver les deux entiers consécutifs.

4 : 2 = 2

6 : 2 = 3

3 : 3 = 1

6 : 3 = 2

4. Les deux nombres trouvés permettent de donner l’encadrement.

2 < $\frac{5}{2}$ < 3

1 < $\frac{4}{3}$ < 2

Il existe une autre méthode pour encadrer des entiers consécutifs : en utilisant une droite graduée.

Exemple

$\dfrac{5}{2}$ :

On place $\dfrac{5}{2}$ sur une droite graduée.
$\dfrac{5}{2}$ c’est $5\times\dfrac{1}{2}$ ou bien $\dfrac{2}{2}+\dfrac{2}{2}+\dfrac{1}{2}$.
Ainsi $\dfrac{5}{2}= 2+\dfrac{1}{2}$.
Ainsi, on a trouvé les entiers consécutifs pour encadrer $\dfrac{5}{2}$ : $2 < \dfrac{5}{2}< 3$.
On regarde où est placé $5/2$ : quels sont les nombres entiers qui l’entourent ?
On a trouvé les entiers consécutifs pour encadrer$ \dfrac{5}{2}$ : $2 < \dfrac{5}{2}< 3$.

$\dfrac{4}{3}$ :

On place $\dfrac{4}{3}$ sur une droite graduée.
$\dfrac{4}{3}$ c’est $4\times\dfrac{1}{3}$.
On regarde où est placé $\dfrac{4}{3}$ : quels sont les nombres entiers qui l’entourent ?
On a trouvé les entiers consécutifs pour encadrer $\dfrac{4}{3}$ : $1 <\dfrac{4}{3}< 2$.

Positionner une fraction sur une droite graduée

Pour positionner les fractions sur une droite graduée, il faut d’abord observer la droite graduée et compter les graduations.

Exemple

Observons cette droite graduée :

$Alt texte$

On veut placer $\dfrac{3}{10}$, alors il faut compter trois grandes graduations.

$Alt texte$

Exemple

Observons cette droite graduée :

$Alt texte$

On veut placer $\dfrac{3}{10}$, alors on compte : 2 – 4 – 6 petites graduations.

$Alt texte$

Comparer des fractions

Rappel

Si on doit comparer deux fractions avec le même numérateur alors c’est le dénominateur qui détermine laquelle des deux fractions est la plus grande :

Plus le dénominateur est grand, plus la fraction est petite.
Plus le dénominateur est petit, plus la fraction est grande.

En effet, plus le dénominateur est grand et plus l’unité est divisée en petites parts.

Exemple

$\dfrac{3}{8}$ et$\dfrac{3}{4}$ : $\dfrac{3}{8}$ est plus petit que $\dfrac{3}{4}$.

Si je divise une pizza en 4 parts, chaque part sera plus grande que si je la divise en 8 parts.

Si on doit comparer deux fractions ayant le même dénominateur, alors il suffit de regarder le numérateur pour savoir laquelle des deux est la plus grande (ou la plus petite) :

Exemple

$\dfrac{8}{11}$et $\dfrac{5}{11}$. Il y a plus de de parts dans $\dfrac{8}{11}$ que dans $\dfrac{5}{11}$.

Donc $\dfrac{8}{11}>\dfrac{5}{11}$.

Si on doit comparer deux fractions qui n’ont pas le même dénominateur, on peut chercher si l’un est multiple de l’autre.

Exemple

Je prends $\dfrac{9}{15}$ et $\dfrac{17}{30}$. Quelle est la fraction la plus grande ?
Je sais que 30 est le double de 15, c’est un multiple de 15.
Donc si je multiplie la fraction $\dfrac{9}{15}$ par 2, j’aurai une fraction sur le même dénominateur que $\dfrac{17}{30}$.
Attention, pour avoir la même égalité, tu dois multiplier le numérateur ET le dénominateur par 2.
On a : $\dfrac{9\times2}{15\times2}=\dfrac{18}{30}$.
$\dfrac{9}{15}=\dfrac{18}{30}>\dfrac{17}{30}$.

Egalités de fractions

Rappel

Quand le numérateur et le dénominateur sont identiques, la fraction est égale à 1.

Exemple

Les fractions $\dfrac 3 3$ et $\dfrac 6 6$ sont toutes les deux égales à 1.

$\dfrac 3 3$ = 1 et $\dfrac 6 6$ = 1

$primaire mathématiques cm2 calculer des fractions égalité$

Donc $\dfrac 3 3 = \dfrac 6 6$.

On trouve plein d’autres fractions égales.

Exemple

$primaire mathématiques cm2 calculer des fractions égalité$

Pour trouver une fraction égale nous devons :

Méthode	Exemple
1. Pour trouver une fraction égale nous devons lire la fraction donnée	$$\frac{6}{8}$$
2. Puis, on représente la fraction donnée sur une feuille quadrillée	$primaire mathématiques cm2 calculer des fractions égalité$
3. Ensuite, on représente la même fraction avec un quadrillage différent	$primaire mathématiques cm2 calculer des fractions égalité$
4. Pour enfin trouver une égalité	$$\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$$

Attention

Il existe une multitude d’égalités pour les fractions.
$\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}$, mais aussi $\dfrac{6}{8}=\dfrac{60}{80}$ ou encore $\dfrac{6}{8}=\dfrac{12}{16}$, etc.

À retenir

En multipliant le numérateur et le dénominateur par le même nombre, on obtient une fraction identique.

Exemple

$primaire mathématiques cm2 calculer des fractions égalité$

Déterminer le numérateur manquant

Pour déterminer un numérateur manquant dans une égalité de fractions, on cherche d’abord à ce qu’elles soient sur le même dénominateur. On cherche donc par quel chiffre multiplier le dénominateur d’une des deux fractions pour obtenir le même que la seconde fraction. On cherche si les deux dénominateurs sont multiples.

Exemple

$\dfrac{7}{8}= \dfrac{…}{16}$

$16= 2\times8$ donc
$\dfrac{7\times2}{8\times2}=\dfrac{14}{16}$
On a donc l’égalité $\dfrac{7}{8}=\dfrac{14}{16}$

Exemple

$\dfrac{11}{9}= \dfrac{…}{72}$

$72=9\times8$
Donc $\dfrac{11\times8}{9\times8}=\dfrac{88}{72}$
On a donc l’égalité $\dfrac{11}{9}=\dfrac{88}{72}$

Ce contenu est réservé à nos inscrits. Il reste 50% à lire.

Inscrivez-vous gratuitement pour lire la suite

Inscrivez-vous pour lire la suite et accéder à nos vidéos, quiz, exercices, méthodes… Tout ce qu’il faut pour augmenter sa moyenne. 😉

Déjà un compte ? Je me connecte